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  • Mathematics In Europe - Die Hierarchie der Zahlen
    Zahlen Addition und Multiplikation haben viele Eigenschaften an die man sich im Lauf der Schulzeit gewöhnt Es gelten Kommutativ Assoziativ und Distributivgesetz die 0 bzw die 1 sind neutral bezüglich der Addition bzw bezüglich der Multiplikation Quotienten ganzer Zahlen müssen nicht ganzzahlig sein 2 Natürliche Zahlen sind spezielle Beispiele für ganze Zahlen zurück nach oben C Rationale Zahlen Das ist die Menge aller Brüche der Form m n wobei m eine ganze und n eine natürliche Zahl ist So sind 4 87 und 345 777 Beispiele rationaler Zahlen Wissenswertes dazu 1 Jede ganze Zahl m kann doch als m 1 geschrieben werden und deswegen ist jede ganze Zahl auch ein Beispiel für eine rationale Zahl Es gibt natürlich rationale Zahlen die nicht ganz sind 1 2 7 19 2 Im Bereich der rationalen Zahlen ist alles erlaubt Durch addieren subtrahieren multiplizieren und dividieren außer durch 0 erhält man aus rationalen Zahlen immer wieder rationale Zahlen Gleichzeitig gelten die schönen Eigenschaften des Zahlenrechnens das Kommutativ das Assoziativ und das Distributivgesetz zurück nach oben D Reelle Zahlen Das ist ein etwas schwierigerer Punkt wirklich hat es auch sehr lange in der Geschichte der Mathematik bis in die Mitte des 19 Jahrhunderts gedauert bis die Mathematiker in wünschenswert präziser Weise mit reellen Zahlen arbeiten konnten Hier wollen wir uns das Leben etwas einfacher machen Reelle Zahlen sind einfach diejenigen Zahlen die man in einer möglicherweise abbrechenden Dezimalentwicklung darstellen kann 13 1212121212 oder 4 5 oder 896626 4142 oder Das sind praktisch alle Zahlen die man in der Schule und in den Anwendungen braucht Die Zahl die fünfte Wurzel aus 323 die Eulersche Zahl e all das sind reelle Zahlen Wissenswertes dazu 1 Jede rationale Zahl hat eine abbrechende oder periodische Dezimalentwicklung Deswegen sind rationale Zahlen spezielle Beispiele für reelle Zahlen 2 Es ist gar nicht so einfach zu sehen dass es überhaupt reelle Zahlen gibt die nicht schon rational sind Das berühmteste Beispiel dazu ist sicher diejenige Zahl deren Quadrat gleich 2 ist also die Wurzel aus 2 Das ist übrigens ein Beispiel das einem schon bei elementaren geometrischen Situationen begegnet Nach dem Satz des Pythagoras hat die Diagonale des Einheitsquadrates genau diese Länge 3 Reelle Zahlen die nicht rational sind heißen irrational Eben wurde bemerkt dass die Wurzel aus 2 irrational ist zurück nach oben E Komplexe Zahlen Bekanntlich ist eine Wurzel aus einer Zahl a eine Zahl w mit der Eigenschaft dass das Quadrat von w gleich a ist So ist 10 eine Wurzel von 100 und 11 eine Wurzel aus 121 Jede positive reelle Zahl hat genau zwei Wurzeln die eine ist positiv und die andere ist negativ Deswegen kann man vereinbaren unter der Wurzel die positive dieser beiden Zahlen zu verstehen In diesem Sinn ist 1 414213 die Wurzel aus 2 und 7 die Wurzel aus 49 Da das Quadrat jeder reellen Zahl positiv ist können negative reelle Zahlen keine reellen Wurzeln haben Es ist jedoch möglich den Bereich der reellen Zahlen zum größeren Bereich der komplexen Zahlen zu

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  • Mathematics In Europe - Algebraische und transzendente Zahlen
    von Null verschieden 2 Wenn man die Zahl z in diese Funktion einsetzt so kommt exakt Null heraus Hier ein Beispiel Bezeichnen wir mit y die Wurzel aus 2 so ist y eine algebraische Zahl man braucht ja nur zu beachten dass y 2 2 0 d h mit x 2 2 ist eine geeignete Funktion schon gefunden Wissenswertes dazu 1 Algebraische Zahlen kann man addieren subtrahieren multiplizieren und dividieren immer wieder entstehen algebraische Zahlen 2 Um für eine reelle Zahl z nachzuweisen dass sie algebraisch ist muss doch nur eine geeignete Funktion a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n gefunden werden die beim Einsetzen von z den Wert Null liefert Da kann man einiges ausprobieren und ist mit etwas Glück bald fertig Weiter oben haben wir behauptet dass die algebraischen Zahlen zwischen den reellen und den rationalen Zahlen liegen d h jede rationale Zahl ist algebraisch Das ist wirklich so Eine rationale Zahl q können wir doch als Bruch q m n schreiben wobei m und n ganze Zahlen sind dann ist q Nullstelle von nx m also algebraisch Transzendente Zahlen Eine reelle Zahl die nicht algebraisch ist heißt transzendent Durch ein Abzählbarkeitsargument kann man einsehen dass es transzendente Zahlen geben muss Es gibt überabzählbar viele reelle Zahlen aber man kann sich wie folgt überlegen dass die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar ist Betrachte zunächst eine natürliche Zahl n Dann gibt es nur abzählbar viele Polynome n ten Grades mit ganzen Koeffizienten denn man hat für jeden der n Koeffizienten nur abzählbar viele Wahlmöglichkeiten Das gilt für jedes n Also gibt es auch insgesamt nur abzählbar viele Polynome mit ganzen Koeffizienten Man geht wie beim Nachweis der Abzählbarkeit der rationalen Zahlen vor schreibe einfach in die erste Zeile alle Polynome ersten Grades in

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  • Mathematics In Europe - Die Zahl Null
    einmischen Fest steht dass ohne die Null unser Dezimalsystem nicht funktionieren würde Die Zahl 701 zum Beispiel also sieben Hunderter Null Zehner 1 Einer könnte ohne Verwendung der Null nicht so übersichtlich dargestellt werden Zum Vergleich Das römische Ziffernsystem kennt die Null nicht übersichtliche Verfahren um Addieren oder Multiplizieren zu können sind in diesem System nicht möglich Heute betont man dass die Null das neutrale Element der Addition ist Das

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  • Mathematics In Europe - Die Kreiszahl Pi
    wird auch deutlich dass mit Schwingungen zusammenhängt Wissenswertes zu 1 Nach Definition ist in jedem Kreis der Umfang das fache des Durchmessers bzw das 2 fache des Radius In Formeln U d 2 r Außerdem gilt Der Flächeninhalt F eines Kreises mit dem Radius r ist gleich r 2 2 Schon seit der Antike wurde versucht den Wert von möglichst genau zu ermitteln Heute kennt man auf mehr als 65 Milliarden Stellen nach dem Komma 3 In der Hierarchie der Zahlen gehört zu den kompliziertesten Genauer Von Lambert wurde 1761 gezeigt dass irrational ist Lindemann bewies 1882 dass sogar transzendent ist Mit dem Ergebnis von Lindemann ist ein über 2000 Jahre altes Problem erledigt Es ist nicht möglich aus einer Einheitsstrecke mit Hilfe von Zirkel und Lineal die Zahl zu konstruieren Damit ist auch die Quadratur des Kreises unmöglich Genauer Man kann nicht aus einem Kreis ein flächengleiches Quadrat konstruieren wenn als Hilfsmittel nur Zirkel und Lineal erlaubt sind Weitere Informationen 1 ist Kult Viele insbesondere junge Menschen interessieren sich für alles was es über diese Zahl Wissenswertes gibt Internetadressen findet man in der weiter unten angegebenen Literatur Es gab 1999 einen Film mit dem Titel von der Firma Givenchy

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  • Mathematics In Europe - Die Eulersche Zahl e
    reicht nun den Spezialfall a 1 zu untersuchen die allgemeine Situation lässt sich durch Skalierung darauf zurückführen So gelangt man zu dem folgenden Problem Finde eine Funktion f für die f f ist für die also die Ableitung der Funktion mit der Funktion übereinstimmt und für die f 0 1 gilt Letzteres ist lediglich eine praktische Normierung Man kann dann beweisen dass es eine eindeutig bestimmte Funktion mit dieser Eigenschaft gibt sie wird die Exponentialfunktion genannt der Wert dieser Funktion bei einer Zahl x wird mit exp x bezeichnet Die Zahl e ist dann gerade der Wert der Exponentialfunktion an der Stelle x 1 Es gilt exp x e x für alle reellen Zahlen x Möglichkeit 3 Es ist für konkrete Rechnungen oft praktisch zu wissen dass sich exp x als unendliche Summe 1 x 1 x 2 1 2 x 3 1 2 3 schreiben lässt Durch Einsetzen von x 1 erhält man e 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 Da die Nenner in dieser Summe sehr schnell sehr groß werden kann man mit relativ wenigen Summanden e schon recht gut bestimmen Möglichkeit 4 Wer schon weiß was ein Flächeninhalt unter einer Kurve ist kann e auch als diejenige Zahl x definieren für die die Fläche unter der Kurve 1 x zwischen den Abszissen 1 und x genau den Wert 1 hat Das das wirklich so ist folgt aus elementaren Integrationsregeln das unbestimmte Integral der Funktion 1 x ist die Logarithmusfunktion und die hat genau bei e den Wert 1 Wissenswertes zu e 1 Sicher ist e eine der wichtigsten Zahlen der Mathematik und für die Anwendungen Das liegt überwiegend in ihrer Bedeutung für Wachstumsprozesse Eigenschaften der Exponentialfunktion auch im Bereich der komplexen Zahlen wurden von Euler intensiv untersucht ihm zu Ehren heißt sie e

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  • Mathematics In Europe - Die imaginäre Einheit i
    Wurzeln zu allen reellen Zahlen Wenn man sich die rellen Zahlen als Punkte einer Geraden vorstellt etwa der x Achse in einem Koordinatensystem so kann man sich die komplexen Zahlen als Punkte der Ebene veranschaulichen Für komplexe Zahlen werden dann eine Addition sie funktioniert wie die Vektoraddition und eine Multiplikation etwas gewöhnungsbedürftig so definiert dass alle vom Zahlenrechnen gewohnten Eigenschaften erfüllt sind Kommutativ Assoziativ und Distributivgesetze gelten wie gewohnt Bemerkenswerterweise gibt es eine komplexe Zahl deren Quadrat genau dem Punkt 1 auf der x Achse entspricht Die Zahl die zu den Koordinaten 0 1 gehört hat diese Eigenschaft sie wird die imaginäre Einheit genannt und mit i bezeichnet Damit ist i eine Wurzel aus 1 Übrigens auch i diese Zahl entspricht dem Punkt 0 1 und anders als bei reellen Zahlen gibt es keine naheliegende Möglichkeit eine dieser Wurzeln auszuzeichnen Deswegen sind Mathematiker nicht ganz glücklich mit der oft anzutreffenden Formulierung i ist die Wurzel aus 1 so wie man in der Umgangssprache ja auch nicht sagen kann dass man den Bruder von Klaus getroffen habe wenn Klaus zwei Brüder hat Komplexe Zahlen sind also dazu geeignet immer Wurzeln zu finden Immer ist die Gleichung x 2 a 0 lösbar

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  • Mathematics In Europe - Primzahlen
    höchstens so groß wie m sind Zum Beispiel ist P 10 4 denn unterhalb von 10 gibt es 4 Primzahlen 2 3 5 und 7 Wie groß ist P m für große m Oder noch besser Wie groß ist das Verhältnis von P m zu m Schon Gauß hat sich intensiv mit dieser Frage auseinander gesetzt eine Lösung gab es aber erst gegen Ende des 19 Jahrhunderts Sie wurde unabhängig voneinander durch Hadamard und de la Vallee Poussin gefunden hier ist sie Bezeichnet ln m den natürlichen Logarithmus von m so ist das Verhältnis von P m zu m in sehr guter Näherung wenigstens bei großen m durch 1 ln m gegeben Für alle die mit dem natürlichen Logarithmus nicht viel anfangen können folgt hier eine andere Formulierung Nehmen Sie irgendeine Zahl r zum Beispiel r 10 und rechnen Sie dann m 2 718 hoch r aus m 2 718 mal 2 718 mal 2 718 das ganze r mal In unserem Beipiel r 10 ist m ziemlich genau gleich 22012 Und dann gilt Der Anteil der Primzahlen die höchstens so groß wie m sind ist ziemlich genau gleich 1 r In unserem Beispiel Etwa ein Zehntel der Zahlen unter 22012 ist Primzahl Primzahltests Es ist für eine große Zahl m auch mit Computerhilfe sehr mühsam die Primzahleigenschaft festzustellen Eigentlich sind alle Zahlen n die kleiner als m sind zu testen Teilt n die Zahl m Man kann sich aber schnell klar machen dass man nur Zahlen bis zur Wurzel von m testen muss denn ist n ein Teiler von m so ist eine der Zahlen n oder m n höchstens so groß wie die Wurzel Das kann immer noch eine Menge sein Hat zum Beispiel m 100 Stellen im Dezimalsystem so hat die Wurzel 50 Stellen Könnte ein Computer pro Sekunde eine Million Zahlen n testen lässt sich m durch n teilen so hätte er immer noch mehr Jahre zu tun als das Weltall voraussichtlich bestehen wird Es gibt aber bessere Tests hier der bekannteste Ausgangspunkt des Tests ist ein Ergebnis das schon von Fermat gefunden wurde Es setzt voraus dass man weiß was für zwei Zahlen a und b die Zahl a modulo b bedeutet Damit ist die Zahl gemeint die beim Teilen von a durch b als Rest übrig bleibt Zum Beispiel ist 15 modulo 2 gleich 1 und 139 modulo 4 ist gleich 3 Fermat konnte nun zeigen Startet man mit einer Primzahl p und einer Zahl a die zwischen 1 und p 1 liegt und rechnet man dann a hoch p 1 aus also die Zahl a mal a mal mal a insgesamt p 1 mal so gilt Diese Zahl modulo p ist gleich 1 Hier ein Test für p 5 und a 3 Es ist 3 hoch 4 gleich 81 und wenn man 81 modulo 5 rechnet kommt wirklich 1 heraus Und warum ist das ein Primzahltest Soll man m auf Primzahleigenschaft testen so wähle man ein a kleiner m und prüfe ob a

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  • Mathematics In Europe - Eulers berühmte Gleichung
    imaginäre Einheit i die Kreiszahl Um den zu verstehen muss man natürlich erstens diese Zahlen kennen und zweitens wissen dass die Exponentialfunktion e z auch für komplexe Zahlen z anwendbar ist e z ist als Ergebnis der unendlichen Reihe 1 z 1 z 2 1 2 z 3 1 2 3 zu verstehen das ist sinnvoll denn auch für komplexe Zahlen sind Summe Produkt und Grenzwert definiert Hier wird das übrigens nur für den Spezialfall benötigt in dem z ein reelles Vielfaches der imaginären Einheit ist z i x mit einer reellen Zahl x In diesem Fall kann e i x durch die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus ausgedrückt werden e i x cos x i sin x Zum Beweis dieser Beziehung muss man die Reihenentwicklungen von Sinus und Cosinus kennen der Rest ist dann ganz einfach Durch diesen Exkurs über die Exponentialfunktion im Komplexen ist die obige Formel aber auch schon bewiesen Der Sinus ist bei gleich 0 der Cosinus hat dort den Wert 1 und das heißt e hoch i mal 1 0 1 Mathematiker finden die Formel sie geht auf Euler zurück besonders bemerkenswert weil sie auf überraschende Weise die Einheit ihrer Wissenschaft ausdrückt Zu Beginn der

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