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  • Mathematics In Europe - Vektoren / Dimension
    einfach die Komponenten addiert z B ist die Summe der Vektoren 3 2 4 2 0 0 und 1 2 0 3 4 104 5 der Vektor 3 1 2 4 2 2 0 0 3 4 0 104 5 also 2 0 4 2 3 4 104 5 Man schreibt dafür 3 2 4 2 0 0 1 2 0 3 4 104 5 2 0 4 2 3 4 104 5 man verwendet also das gleiche Zeichen wie für Zahlen Dann gibt es einige Parallelen zu den Eigenschaften von Zahlen Z B gibt es einen Vektor nämlich 0 0 0 0 0 der bei der Addition nichts verändert Er entspricht der Null bei den Zahlen Genauso einfach kann man Vektoren mit Zahlen malnehmen das geht wieder komponentenweise Z B wird 7 mal 2 5 3 2 1 31 als 14 35 21 14 7 217 erklärt in Kurzform als 7 2 5 3 2 1 31 14 35 21 14 7 217 Addition und Multiplikation mit Zahlen haben dann Eigenschaften die gute alte Bekannte sind z B gilt für die Addition das Assoziativ und das Kommutativgesetz Aufgrund dieser Eigenschaften spricht man vom R n als einem Vektorraum Dimension Warum heißt dieses Gebilde nun eigentlich n dimensional warum ist der R 5 z B 5 dimensional Die Begründung Um ein Element dieses Raumes festzulegen sind genau n reelle Zahlen erforderlich Weniger reichen nicht und mehr wären zuviel Das wird in der Mathematik noch allgemeiner also nicht nur bei Vektorräumen so gemacht Wenn z B eine Größe durch 27 Zahlen eindeutig festgelegt ist und es mit 26 nicht geht spricht man von einem 27 dimensionalen Raum Ehrlicherweise muss zugegeben werden dass das eine ziemlich starke Vereinfachung ist Zwei Beispiele 1 Um einen Punkt auf einer Linie etwa einer Spirale festzulegen muss man doch nur einen Punkt der Linie als Startpunkt auszeichnen und dann zur eindeutigen Beschreibung eines anderen Punktes angeben wieviele cm er vom Startpunkt entfernt ist die eine Richtung bekommt dabei das Vorzeichen die andere Um z B zu Punkt 5 3 bzw 6 1 zu kommen soll man einfach 5 3 cm nach rechts bzw 6 1 cm nach links gehen Folgerung Linien sind 1 dimensional 2 Als zweites Beispiel betrachten wir eine Kugeloberfläche z B die Erdoberfläche Wie bekannt kann man Punkte durch Angabe von Längen und Breitengrad beschreiben Das heißt Kugeloberflächen sind zweidimensional Genauso ist die Ebene zweidimensional die meisten werden die Beschreibung durch x und y Koordinaten in der Schule kennengelernt haben Randbemerkung Man nennt diese Koordinaten bekanntlich kartesische Koordinaten Namensgeber ist der französische Philosoph René Descartes der als erster den Zusammenhang zwischen Geometrie und Algebra systematisch untersuchte 1632 Kartesische Koordinaten verwendete er allerdings noch nicht die wurden erst im 18 Jahrhundert eingeführt Der 7 dimensionale Kuchen Um zu verdeutlichen dass uns höherdimensionale Räume im täglichen Leben wohlvertraut sind beginnen wir mit einem etwas gewagten Beispiel Ein Kuchenrezept besteht doch im wesentlichen aus der Angabe der Mengen der einzelnen Zutaten Z B Mehl Butter Zucker

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  • Mathematics In Europe - Mathematics In Europe
    Beruf Verschiedenes m i e eu warum m i e eu für wen EMS Sponsor Sprachen Kontakt Impressum Suchen The European Mathematical Society Our Sponsor Munich RE Mathematics in Norway Details Kategorie math in europe We have asked the colleagues in Norway to provide material It will be presented here as soon as we have got it Societies Research institutions Exhibitions Popular web pages Raising public awareness journals Raising public

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  • Mathematics In Europe - Endlich / unendlich
    M zum Nummerieren von N verwenden Z B kann man die natürlichen Zahlen 1 2 3 zum Nummerieren der Quadratzahlen 1 2 2 2 3 2 verwenden also sind die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der Quadratzahlen gleich groß Die exakte Definition ist etwas anspruchsvoller gleich groß bedeutet dass es ein Abbildung f M N mit den folgenden zwei Eigenschaften gibt für x y aus M x ungleich y gilt stets f x ungleich f y für jedes z aus N gibt es ein x aus M mit f x z Als nächstes erklärte er was M hat höchstens so viele Elemente wie N eher weniger bedeuten soll Es muss eine Abbildung mit der vorstehend beschriebenen Eigenschaft 1 geben Wir wollen hier der Einfachheit halber M kleiner gleich N schreiben wenn das erfüllt ist Bemerkenswert sind dann die folgenden Tatsachen a Beschränkt man sich auf endliche Mengen so kommt das heraus was jeder erwarten würde Die Mengen 1 2 3 und Montag Dienstag Sonntag sind gleich groß 4 5 kleiner gleich 6 7 8 usw b Im Bereich unendlicher Mengen treten merkwürdige Phänomene auf Z B kann eine echte Teilmenge genau so viele Elemente haben wie die Menge selber Das haben wir weiter oben bei den natürlichen Zahlen und den Quadratzahlen gesehen c Berühmt sind die folgenden auf Cantor zurückgehenden Ergebnisse mehr dazu finden Sie bei Abzählbar vs Überabzählbar Die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen haben gleich viele Elemente naiv würde man erwarten dass es viel mehr rationale als natürliche Zahlen gibt Es gibt beweisbar mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen Anders ausgedrückt Es ist unmöglich die reellen Zahlen so untereinander in einer beliebig langen Spalte anzuordnen dass jede einmal vorkommt d Es gibt keine Menge mit den meisten Elementen Egal wie groß

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  • Mathematics In Europe - "Existenz"
    ein Scheinproblem Es existiert ist nur eine Abkürzung für Wenn man die Axiome A 1 A 2 postuliert unter denen es auch Existenzaxiome gibt so lässt sich darauf auf die Existenz von Elementen mit anderen Eigenschaften schließen Zum Beispiel ist Es gibt ein x mit x 2 119 eine Abkürzung für Aus den Axiomen der reellen Zahlen also den Körper und Ordnungsaxiomen und dem Vollständigkeitsaxiom lässt sich mit zulässigen Beweisen schließen dass es ein x mit x 2 119 gibt Das ist der für Mathematiker sicherste philosophische Standpunkt weitere Diskussionen sind kaum zu befürchten 2 Der platonische Standpunkt Ein Platonist stellt sich vor dass es die Objekte der Mathematik irgendwo irgendwie gibt Der Name leitet sich von der Ideenlehre des Philosophen Platon her der sich alle Ideen als ganz real im Reich der Ideen existierend vorstellte Für ihn war es schon immer richtig dass der Satz des Pythagoras gilt dass es unendlich viele Primzahlen gibt usw Diese Tatsachen wurden von uns Menschen nach und nach entdeckt Dieser Standpunkt ist unter Mathematikern sehr weit verbreitet für die stark überwiegende Mehrheit stellt sich ihr Fach so dar Das liegt unter anderem daran dass nach genügend langer intensiver Auseinandersetzung mit einem mathematischen Teilbereich die Objekte einem ähnlich real vorkommen wie etwa der schiefe Turm von Pisa über den man eine Menge weiß den man vielleicht ja auch noch nie konkret gesehen hat Vorsicht Diesen Standpunkt behält man besser für sich sonst kommen Nachfragen Wo sind denn nun genau die Kreise Wahrscheinlichkeitsräume Vektoren 3 Der konstruktivistische Standpunkt Da werden sehr strenge Maßstäbe angelegt Für einen Konstruktivisten existiert etwas erst dann wenn man ausgehend von allerelementarsten Wahrheiten über natürliche Zahlen ein Verfahren angeben kann um das Objekt mit den gewünschten Eigenschaften auch wirklich in jeder vorgegebenen Präzision zu konstruieren Ein sehr sympathischer Brauch da der

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  • Mathematics In Europe - Extremwerte
    x mit größtmöglichen f x garantiert Etwas Fortgeschrittenere wissen dass der Kompaktheitsbegriff dahinter steht 2 Eindeutigkeit Fast nie gibt es nur einen einzigen Kandidaten für ein x mit größtmöglichem f x Im Extremfall wenn f konstant ist kann man sogar alle x einsetzen Wie findet man so ein x Fall 1 M ist endlich und nicht zu groß höchsten vielleicht einige Millionen bis Milliarden Elemente Dann kann man einen Computer alle f x ausrechnen lassen und so ein x mit größtem f x finden Leider kommt es auch bei endlichen Mengen oft vor dass es so nicht geht sie sind einfach viel zu groß Fall 2 M ist ein Intervall a b und f ist differenzierbar Das hat besonders viele Anwendungen es wird in der Schule behandelt Hier ist es so dass man ein x mit größtmöglichem f x so findet Bestimme alle x mit f x 0 also alle x mit waagerechter Tangente Die sollen x 1 x 2 x n heißen Berechne f a f b f x 1 f x n und stelle fest welche dieser Zahlen die größte ist Auf diese Weise ist das Extremwertproblem für eine unendliche Menge M nämlich a b darauf zurückgeführt die Gleichung f x 0 vollständig zu lösen und anschließend noch endlich viele in der Regel wenige Kontrollrechnungen durchzuführen Fall 3 M ist ein Teilmenge des n dimensionalen euklidischen Raumes und f ist wieder differenzierbar Das geht ganz ähnlich wie im vorstehenden Fall nur muss jetzt die Vektorgleichung grad f x 0 gelöst werden Einzelheiten würden hier zu weit führen Fall 4 Wenn man keinerlei Differenzierbarkeit voraussetzen darf und man nur so etwas wie einen schwarzen Kasten zur Verfügung hat der aus der Eingabe x die Ausgabe f x macht kann man es immer noch mit Zufallsmethoden versuchen Denken Sie als

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  • Mathematics In Europe - Was heißt "Gleichheit" in der Mathematik?
    es doch darum zwei Elemente eines Bereich zu vergleichen und eventuell das eine besser zu finden Manchmal ist es einfach nämlich sicher dann wenn der Nutzen durch eine einzige reelle Zahl gemessen wird denn solche Zahlen kann man immer vergleichen So wird bei vielen sportlichen Disziplinen der die Beste ermittelt Komplizierter wird es wenn mehrere Gesichtspunkte eine Rolle spielen Klar ist dass ein Schüler mit den Noten zwei und drei auf dem Zeugnis wohl besser ist als einer der in allen Fächern nur Vieren hat Was aber wenn der zweite in einem speziellen Fach der Superstar der Schule ist zum Beispiel Sieger im Bundeswettbewerb Mathematik Moral In vielen Fällen ist durchaus nicht klar wie man sinnvoll eine Ordnung im Sinne einer Rangfolge definieren soll und wie die denn aussehen sollte Nun zur Mathematik Auch da gibt es Situationen in Hülle und Fülle wo man Objekte miteinander vergleichen möchte Mengen Funktionen usw Als Laie muss man nur zwei Dinge dazu wissen 1 Mathematiker haben sich dem Thema Ordnung axiomatisch genähert Sie sprechen von einem geordneten Raum wenn sie eine Menge mit einer sogenannten Ordnungsrelation versehen haben Das soll bedeuten dass sie auf dieser Menge eine Relation betrachten die reflexiv transitiv und antisymmetrisch ist Etwas mehr Einzelheiten finden Interessierte nachstehend Das klingt vielleicht furchterregend ist aber nur die axiomatische Formulierung von dem was jede r von einer vernünftigen Größer Definition verlangen würde Die Transitivität besagt in diesem Zusammenhang nur Sehe ich A größer als B und gleichzeitig B größer als C an so soll ich auch A größer als C ansehen Auf diese Weise lassen sich so verschiedene Fragestellungen wie Vergleich von Zahlen Vergleich von Funktionen Vergleich von Mengen einheitlich behandeln 2 Verglichen wird oft auch dadurch dass man jedem Objekt eine Zahl zuordnet und dann die jeweiligen Zahlen betrachtet Ein Beispiel aus dem Leben So macht man es etwa beim Zehnkampf Für jeden Teil Wettbewerb gibt es Punkte und Sieger ist wer die meisten Punkte hat Wollte man nur dann einen Sieger ausrufen wenn der in allen Teildisziplinen gesiegt hat so gäbe es so gut wie nie eine Siegerehrung Es ist zu betonen dass die Wahl dieser Zuordnung man spricht von einer Zielfunktion in Anwendungsfällen überwiegend Sache der Nichtmathematiker ist Es macht schon einen gewaltigen Unterschied ob man bei einem Produkt die Langlebigkeit den Gewinn für das Unternehmen die Wirtschaftlichkeit im Gebrauch oder sonst etwas optimieren möchte Die Mathematik zur Lösung des Problems ist davon unabhängig Auf diese eigentlich offensichtliche Tatsache wird hier deswegen hingewiesen weil manchmal der Eindruck erweckt wird als wenn durch den Einsatz von Mathematik alles irgendwie wertfrei und objektiv würde Es ist im Gegenteil so dass die wichtigen Vorentscheidungen mit Mathematik oft gar nichts zu tun haben Relationen Wenn man sich im Leben oder in der Mathematik mit irgendeinem Teilbereich auseinandersetzt so möchte man manchmal betonen dass zwei Objekte in einer besonderen Beziehung zueinander stehen Menschen können verwandt sein oder auch nicht sie können sich duzen lieben hassen und so weiter Zahlen können durcheinander teilbar Mengen ineinander

    Original URL path: http://mathematics-in-europe.eu/de/17-articles-in-multiple-languages/german/963-what-means-equality-in-mathematics (2013-11-18)
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  • Mathematics In Europe - Vollständige Induktion
    für ein festes n in N gilt Beachte Ob A n wirklich gilt steht nicht zur Debatte Nun zeigt man dass wenn A n gilt auch A n 1 zutrifft also wenn die Aussage A für ein festes n in N wahr ist dass sie dann auch für den Nachfolger von n erfüllt ist Somit weiß man dass A 1 wahr ist und die Folgerung Wenn A n gilt so folgt dass sie auch für den Nachfolger A n 1 zutrifft wahr ist Nun kann man aber auch schon sehen dass es somit für alle natürlichen Zahlen gelten muss Es gilt für die erste natürliche Zahl die Eins somit wegen 2 auch für die Zwei somit wegen 2 für die Drei Zu beachten Beim Induktionsschluss ist eine Implikation zu zeigen das heißt man muss überprüfen ob eine Aussage für n 1 gilt unter der Annahme dass sie für n gilt Man muss nicht fragen ob sie denn für n erfüllt ist Sowohl Induktionsanfang als auch Induktionsschluss müssen erfüllt sein Es kann sein dass A 1 falsch ist der Schluss von n auf n 1 aber gelingt Der Induktionsanfang muss nicht immer bei n 1 bzw n 0 gewählt werden In manchen Fällen gilt die zu beweisende Aussage erst ab einer größeren Zahl Dennoch ist es ratsam den Induktionsanfang bei der kleinstmöglichen Zahl zu wählen Um die Beweisführung so übersichtlich wie möglich zu gestalten hält man sich am Besten an das Schema Induktionsanfang I A Induktionsvoraussetzung I V Induktionsschluss I S Meistens läuft die Induktion über n ab Jedoch ist n hier nur eine Variable und kann somit durch jeden anderen beliebigen Buchstaben ersetzt werden In manchen Aussagen sind mehrere Variable enthalten so dass man sich erst klar machen sollte über welche Variable die Induktion zu führen ist Beispiel Man beweise

    Original URL path: http://mathematics-in-europe.eu/de/17-articles-in-multiple-languages/german/933-vollstaendige-induktion (2013-11-18)
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  • Mathematics In Europe - Mathematics In Europe
    with the Austrians Herwig Hauser and Andreas Daniel Matt see http imaginary org exhibitions imaginary through the eyes of mathematics The exhibition was shown in Vienna and several workshops and activities were held The Haus der Mathematik is a maths museum run by Gerhard Lindbichler Diese E Mail Adresse ist vor Spambots geschützt Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein It is mostly directed at visits by school classes The most remarkable enterprise is without doubt math space http math space or at led by Rudolf and Bianca Taschner and a small team comprising Reinhard Winkler and Alexander Mehlmann Mathspace is devoted to the cultural aspects of mathematics It is suitably located in the Museumsquartier in Vienna surrounded by galleries and restaurants and has become a landmark in Vienna It offers a wide series of some 600 lectures per year for children of different ages starting from 5 7 In addition it offers frequently popular lectures of a high level These lectures regularly draw audiences of 4 500 and resulted in best selling books such as Rechnen mit Gott und der Welt Taschner Math space has some 25 000 visitors per year The Mathemuseum http www mathemuseum org in Stams Tirol is a unique museum made by school students who prepared all exhibits and coordinate the museum together with teachers and parents Guided tours and special maths days are organized Popular web pages A good website with ressources for the school is http www mathe online at We are not aware of another maths portal communicating mathematics in Austria to a broad public Raising public awareness journals The IMN Internationale Mathematische Nachrichten is run by the Austrian Math Society In the media there is hardly any interest for mathematical topics with the exception of the journal Der Standard and the public

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