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  • Mathematics In Europe - Mathematics in Italy
    unimi it Matematica trasparente superfici minime e bolle di sapone Transparent mathematics minimal surfaces and soap bubbles http bolle science unitn it matemilano mathematical paths in the town http matemilano mat unimi it matetrentino mathematical paths in Trento and surrounding http matematita science unitn it matetrentino Un tuffo nella quarta dimensione Diving in 4 th dimension http www matematita it materiale index php p cat sc 919 Uguali Diversi Equal Different http www matematita it materiale index php p cat sc 1014 Besides these ones there have been in Italy other exhibitions about mathematics especially in the last few years mainly these were related to some local events and had just a temporary character Sometimes it happens these activities gave rise to a permanent structure Just to give one example we quote Giocare con le costruzioni la matematica che esiste Playing with constructions mathematics which exists an exhibition of mathematical objects in the maths department of the University of Perugia http www dmi unipg it iniziative mostre We don t give here a list which would be long and could never be complete rather we add two references not so recent but still valuable for anybody willing to know more about the development of mathematics exhibitions in Italy inside and outside science museums in particular you find here also informations about exhibitions like L occhio di Horus hystorically significant but not quoted here because no more available S Di Sieno Matematica al museo Mathematics in museums in Bollettino dell Unione Matematica Italiana A ser 8 vol 6 A 2003 pag 85 103 available online at the adress http www quadernoaquadretti it scuola riflessioni museo pdf S Di Sieno Mostre di matematica soltanto una nuova moda o una strategia interessante Mathematics exhibitions only a new fashion or an interesting strategy in Bollettino dell Unione Matematica Italiana A ser 8 vol 5 A 2002 pag 491 514 available online at the adress http www quadernoaquadretti it scuola riflessioni mostre pdf Popular web pages We prefer to give here a short list and to point out websites which maybe just for a specific reason highlighted in the comment can be particularly interesting either for mathematicians working in rpa activities or for laymen curious about maths The list is obviously and unavoidably incomplete http ulisse sissa it The website of SISSA InternationalSchool for Advanced Studies for general scientific information http ulisse sissa it controluce Inside the Ulisse website this is a page regarding scientific images divided in 3 main groups looking describing and thinking each one further divided in 3 subgroups looking near looking far looking inside describing objects describing places describing changes thinking elements thinking relations thinking spaces Mathematics is mainly in the subgroup thinking spaces http www matematita it materiale index php Inside the website of the Centre matematita this is a page with a large collection of Images for mathematics including some animations some further information for the layman some examples of paths using images for teaching and or communicating http

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  • Mathematics In Europe - Mathematics in Turkey
    the country Turkish Mathematical Society has been a full member of the International Mathematical Union since 1960 Also Turkish Mathematical Society has been a member of European Mathematical Society since 2008 The Society is located in Istanbul and has also a branch in Ankara http www tmd org tr The Association of Mathematicians was founded in 1995 and is located in Ankara Those who are part as student or faculty at some university Mathematics Mathematics Engineering Mathematics Education Departments can apply for membership cf link in Turkish http www matder org tr Mathematics Foundation publishes mathematics teaching books organizes the yearly Cahit Arf Lectures and gives every year the Masatoshi Gündüz İkeda Research award cf link in Turkish http www matematikvakfi org tr Research institutions The Istanbul Center for Mathematical Sciences http www imbm org tr The Boğaziçi University TÜBİTAK Feza Gürsey Institute http www gursey gov tr http www3 iam metu edu tr iam index php Main Page Institute for Applied Mathematics METU http www3 iam metu edu tr Other regular research and education activities Antalya Algebra Days http www aad metu edu tr Gökova Geometry Topology Conference http gokovagt org Nesin Mathematics Village http matematikkoyu org en node Activities web pages http www turkmath org beta index php Exhibitions Popular web pages http www matematiktutkusu com Raising public awareness journals Matematik Dünyası the World of Mathematics MD is a quarterly journal aiming to convey abstract mathematics to young people Although its focus is high school and university students thanks to the universality of mathematics it has reached a larger scope of readers The journal is owned by the Turkish Mathematics Society and is run by professional mathematicians http www matematikdunyasi org Raising public awareness journalists İsmet Berkan Cette adresse e mail est protégée contre les robots spammeurs Vous

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  • Mathematics In Europe - Accueil
    Hilbert Lire la suite The quotation of the day Historical reminder Détails Catégorie General On November 18 1844 Albert Wangerin was born in Greifenberg Germany His work deals primarily with potential theory and the theory of conics In addition he was a publisher of the Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik 1869 1924 Wangerin died on October 25 1933 in Halle Germany More information can be found here The popular

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  • Mathematics In Europe - Mathematics In Europe
    Bestellen kann man das Buch hier In Mathe war ich immer schlecht Publisher Springer Nicht nur in Deutschland gibt es viele Zeitgenossen die das Fach Mathematik nicht wirklich lieben gelernt haben und damit auch noch kokettieren Solchen Zeitgeossen ist dieses Buch gewidmet Bestellen kann man das Buch hier Albrecht Beutelspachers kleines Mathematikum Publisher Goldmann Der Autor hat als erfolgreicher Gründer des Mathematikmuseums Mathematikum in Gießen viel Erfahrung mit dem Erklären von Mathematik Wer erfahren möchte was Wissenschaftler dieser Disziplin an ihrem Fach wirklich interesseirt sollte zu diesem Buch greifen Bestellen kann man das Buch hier Wie man durch eine Postkarte steigt Publisher Herder Mathematik hat auch eine unterhaltsame Komponente In diesem Buch gibt es eine Fülle von Anregungen wie man Mathematik greifbar machen kann Bestellen kann man das Buch hier Jörg Bewersdorff Glück Logik und Bluff Publisher Springer Es handelt sich um ein für Laien geschriebenes mathematisch fundiertes Buch zur Spieltheorie Die mathematischen Grundlagen werden verständlich erklärt Kombinatorik Warscheinlichkeiten usw Man kann viel über die verschiedensten Spiele lernen in einigen Fällen wird auch eine optimale Gewinnstrategie besprochen Bestellen kann man das Buch hier Christoph Drösser Der Mathematik Verführer Publisher Booklett Drösser ist ein bekannter Wissenschaftsjournalist in der ZEIT betreut er seit Jahren die Kolumne Stimmt s Erfreulicherweise gehört die Mathematik auch zu seinen Interessensgebieten Im vorliegenden Buch werden in 18 Abschnitten verschiedene Aspekte der Mathematik auf interessante Weise erklärt Wahlmathematik Otimierung Wahrscheinlichkeiten Mathematik und Musik Bestellen kann man das Buch hier Hans Magnus Enzensberger Der Zahlenteufel Publisher Hanser Ein Glücksfall Ein berühmter Schriftsteller interessiert sich auch für die Mathematik Sein Zahlenteufel ist für Kinder geschrieben besonders für alle die vor der Mathematik Angst haben Bestellen kann man das Buch hier Gerd Gigerenzer Das Einmaleins der Skepsis Publisher BTV Wer sich einmal mit Wahrsch einlichkeitsrechnung beschäftigt hat weiß welche Fehlschlüsse dort lauern Solche Irrtümer sind insbesondere dann für den Alltag von Bedeutung wenn es sich um das Invertieren von bedingten Wahrscheinlichkeiten handelt Das wird zum Beispel dann wichtig wenn man medizinische Tests interpretieren möchte Gigerenzer stellt die zugrunde liegende Mathematik ausführlich dar Alle Ärzte sollten die entsprechenden Ergebnisse kennen bevor sie sich mit den Patienten über die Auswertung der Testergebnisse unterhalten Bestellen kann man das Buch hier Peter Gritzmann René Brandenburg Das Geheimnis des kürzesten Weges Publisher Springer Hauptperson dieses Buches ist Ruth ein 15 jähriges Mädchen das einige Geheimnisse der Mathematik kennenlernnen möchte Insbesondere hat es ihr das Problem angetan einen möglichst kurzen Rundweg durch eine Reihe von vorgegebenen Städten zu finden das Problem des Handlungsreisenden Die Autoren erklären geduldig und gut verständlich welche interessanten Ideen von der modernen Mathematik zur Lösung dieses Problems entwickelt wurden Bestellen kann man das Buch hier Robert Kanigel Der das Unendliche kannte This is the translation of the English book The Man who knew Infinity Publisher Springer Vieweg Der indische Mathematiker Ramanujan gehört zu den interessantesten Persönlichkeiten der Mathematikgeschichte Seine Ideen waren so tiefliegend und vorausschauend dass nur wenige Fachkollegen folgen konnten Er kam nach Europa wo er in den zu wenigen Jahren seines

    Original URL path: http://mathematics-in-europe.eu/de/component/content/article/51-popularization/books/1006-popular-mathematical-books-german (2013-11-18)
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  • Mathematics In Europe - Abzählbar / Überabzählbar
    dass die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist Nachdem wir also klären konnten was Unendlich eigentlich bedeutet kommen wir nun zum zweiten Schritt 2 Größenvergleiche zwischen unendlichen Mengen Auch hierfür beginnen wir mit einer Definition um zu klären was es bedeutet dass zwei Mengen gleichgroß sind Zwei Mengen heißen gleichgroß wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt Nachdem wir im oberen Abschnitt uns schon mit dem Begriff Bijektion befasst haben dürfte diese Definition jetzt keine großen Schwierigkeiten mehr darstellen Auch ist mit dem obigen Abschnitt bewiesen dass die Menge der natürlichen Zahlen genauso groß ist wie die der geraden natürlichen Zahlen obwohl man intuitiv vermuten würde dass es viel mehr natürliche Zahlen gibt Ein weiteres interessantes Ergebnis ist dass die Menge der natürlichen Zahlen genauso groß wie die der ganzen also auch der negativen Zahlen ist Um das zu beweisen definiert man einfach eine Abbildung in folgender Weise Die 0 wird der 0 zugeordnet die 1 der 1 die 2 der 1 die 3 der 2 die 4 der 2 usw Es sollte klar sein dass es sich dabei um eine Bijektion handelt Jetzt können wir uns um die Begriffe abzählbar und überabzählbar kümmern 3 Abzählbare Mengen Definition Eine Menge M heißt abzählbar wenn eine Bijektion zwischen M und den natürlichen Zahlen existiert Es sind also genau die Mengen abzählbar welche genauso groß wie die der natürlichen Zahlen sind Wie sieht es denn nun z B mit der Menge der rationalen Zahlen alle Brüche aus Ist sie abzählbar oder nicht Wir müssen versuchen eine Bijektion von den natürlichen auf die rationalen Zahlen zu finden Diese Bijektion existiert auch wirklich und wird am besten mit dem Cantorschen Diagonalverfahren gezeigt Man bilde also die natürlichen Zahlen anhand der Pfeilfolge auf die rationalen Zahlen ab also 0 auf 0 1 auf 1 2

    Original URL path: http://mathematics-in-europe.eu/de/17-articles-in-multiple-languages/german/923-abzaehlbar-ueberabzaehlbar (2013-11-18)
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  • Mathematics In Europe - Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz
    mögliche Verwirrung durch fehlende Assoziativität war am 18 1 2001 im Berliner Tagesspiegel zu besichtigen Da ging es um die Förderung von Schülern im Mathematikunterricht die Kernaussage war Mädchen und Jungen aus Elternhäusern mit höherer Schulbildung werden besonders intensiv von ihren Lehrern gefördert Im Einleitungssatz wurde die Aussage als Mädchen und Jungen aus interpretiert weiter unten stellte sich heraus dass eigentlich Mädchen und Jungen aus gemeint war Und noch ein Fundstück Justiz ermittelt nach Todesschüssen gegen Polizisten Tagesspiegel vom 30 1 01 Diese Überschrift kann auf zwei Arten verstanden werden Schließlich kann man die fehlende Assoziativität auch bewusst dazu einsetzen um eine doppeldeutige Botschaft zu formulieren Das wird manchmal in der Werbung verwendet die Berliner S Bahn warb kürzlich für ein Schönes Wochenende Ticket 2 Gilt das Assoziativgesetz so wird das Arbeiten viel einfacher Egal wie viele Objekte verknüpft werden Man kann sich die Reihenfolge der Verknüpfung aussuchen alle Möglichkeiten werden zum gleichen Ergebnis führen Das hat zur Konsequenz dass man nicht durch Klammern vorschreiben muss was eigentlich gemeint ist und dadurch wird alles viel übersichtlicher nach oben Das Kommutativgesetz a b b a Das Kommutativgesetz besagt dass es auf die Reihenfolge bei der Verknüpfung nicht ankommt Die Verknüpfung von a mit b führt stets zu genau dem gleichen Ergebnis wie die Verknüpfung von b mit a Bekannte elementare Beispiele sind Addition und Multiplikation für Zahlen Beispiele aus anderen Bereichen Die und und die oder Verknüpfung für Aussagen sowie die Durchschnitts und die Vereinigungsbildung für Mengen sind kommutativ Aber nicht alle Verknüpfungen haben diese Eigenschaft Ordnet man zwei natürlichen Zahlen n und m den Quotienten n m zu so ist diese Operation nicht kommutativ denn n m ist im Allgemeinen von m n verschieden Wissenswertes dazu 1 Im Gegensatz zum Assoziativgesetz das für so gut wie alle praktisch vorkommenden Verknüpfungen gilt ist das Kommutativgesetz für viele Situationen verletzt Oft ist es so dass Theorien in denen dieses Gesetz gilt dramatisch viel einfacher sind als wenn man auf die Gültigkeit verzichten muss Ein auch schon in der Schule vorkommendes wichtiges Beispiel für das das Kommutativgesetz verletzt ist ist die Verknüpfung von Abbildungen Sind zwei Abbildungen zum Beispiel durch multipliziere mit drei und quadriere definiert so entsprechen die Verknüpfungen je nach Reihenfolge den Abbildungen 3x 2 und 3x 2 Da diese Abbildungen unterschiedlich sind ist die Kommutativität verletzt 2 Viele der bekannten Regeln für Verknüpfungen setzen das Kommutativgesetz voraus Es spielt zum Beispiel beim Nachweis des Rechengesetzes a b n a n b n für Potenzen eine wichtige Rolle 3 In den physikalischen Anwendungen kann man oft Handlungen als mathematische Objekte und die Hintereinanderausführung als Verknüpfung interpretieren Und dann spielt es eine wichtige Rolle ob Kommutativität vorliegt oder nicht In der Quantenmechanik zum Beispiel spielen Messungen die Rolle dieser Handlungen Die Verletzung des Kommutativgesetzes erweist sich dort als tieferer Grund für die Heisenbergsche Unschärferelation nach der Messungen verschiedener Aspekte wie zum Beispiel Ort und Impuls eines Teilchens in manchen Fällen nicht gleichzeitig scharf sein können Man braucht nicht die Quantenmechanik zu bemühen

    Original URL path: http://mathematics-in-europe.eu/de/17-articles-in-multiple-languages/german/919-assoziativ-kommutativ-und-distributivgesetz (2013-11-18)
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  • Mathematics In Europe - Axiome
    dass es zu jeder Antwort auf eine Warum Frage eine neue Warum Frage gibt In der Geometrie z B ist man zum ersten Mal in der Geschichte der Mathematik axiomatisch vorgegangen Vor über 2000 Jahren legte Euklid in den Elementen ein axiomatisches Fundament das zum Vorbild für viele andere Wissenschaften insbesondere auch für die anderen Teile der Mathematik wurde Es besagt vereinfacht ausgedrückt Was Punkt Gerade usw bedeutet und welche Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind darüber setzen wir Einverständnis voraus Ende der Diskussion Beginn der eigentlichen Arbeit Heute ist es so dass axiomatische Theorien in der Mengenlehre verankert werden Die Mengenlehre ist als axiomatisches Fundament deswegen so gut geeignet weil man wenige Axiome zur Beschreibung braucht Am Anfang muss man eigentlich nur wissen dass eine Menge eine Zusammenfassung von gewissen Objekten zu einem neuen eigenständigen Objekt ist Das ist überhaupt nichts besonderes im täglichen Leben macht man es laufend so Streicher ist der zusammenfassende Name für Violine Bratsche Cello und Kontrabass Hauptstädte Europas die aus Athen Berlin Helsinki bestehende Menge usw Wenn also eine Theorie durch einen Satz der Form Objekte der Theorie sind Mengen M mit der Eigenschaft soundso beschrieben wird so kann man sich Diskussionen über Fragen ersparen die zur Mengenlehre gehören Ein Beispiel In der Gruppentheorie geht es so los Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer inneren Komposition die die folgenden drei Eigenschaften hat 1 Sie ist assoziativ 2 Es gibt ein Element e genannt neutrales Element so dass e x x e x für alle x 3 Zu jedem x gibt es ein y mit x y y x e y heißt das zu x inverse Element Als konkretes Beispiel für eine Gruppe können Sie an die ganzen Zahlen denken G Z und für setzen wir ein Die Null ist dann

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  • Mathematics In Europe - Beweise / Beweismethoden
    Alles wird auch dadurch ein bisschen kompliziert dass die Standards sich immer wieder ändern Was Newton Euler und Cauchy bewiesen haben würde heute in einigen Fällen nicht als strenger Beweis durchgehen ganz sicher kann man nicht sein wie in naher oder gar ferner Zukunft über unsere Beweise befunden wird Interessant wird auch sein wie die Fachleute zum Thema Computer und Beweise stehen werden Ist eine Aussage bewiesen wenn ein Computer meint Ja das stimmt ich habe alle 143 739 873 Fälle nachgeprüft Ein sehr einfaches Beispiel Die Aussage Wenn für eine Zahl x die Gleichung x 3 9 gilt so muss x 6 sein Der Beweis Wenn x 3 9 gilt so addiere auf beiden Seiten die Zahl 3 Rechts ergibt sich 6 links x 3 3 und das ist wegen des Assoziativgesetzes der Gleichung 3 3 0 und der Gleichung x 0 0 gleich x Beweismethoden Im Folgenden wollen wir ein paar Beweismethoden vorstellen Es gibt keine einheitliche Vorgabe wie man einen Beweis führt aber natürlich sollte man am Ende auf das richtige Ergebnis kommen und der Weg dorthin auf eine Weise erfolgen die logisch schlüssig und den gegebenen mathematischen Gesetzen folgend ist Nur die Art zu diesem richtigen Ergebnis mit logisch richtigen Schlüssen zu kommen kann verschieden sein Die gängigsten Methoden stellen wir nun vor 1 Direkter Beweis Ein direkter Beweis ist die zugänglichste Beweismethode da man einfach eine Vermutung so umformt dass man direkt zum gewünschten Ergebnis kommt Beispiel Beweise ein erweitertes Distributivgesetz a b c d ab ac ad Ein direkter Beweis dieser Gleichung läuft jetzt nach folgendem Schema Wir nehmen uns die linke Seite der Gleichung und formen sie so lange um bis wir zur rechten Seite gekommen sind a b c d a b c d ab a c d ab ac ad Bei dem Beweis haben wir ausgenutzt dass wir das Distributivgesetz der Form x y z also für drei Variable bereits kennen Dies haben wir zweimal benutzt und konnten so durch einen direkten Beweis das Gesetz auf vier Variable erweitern 2 Beweis durch Widerspruch Eine weitere Möglichkeit einen Beweis zu führen ist die Methode des Beweises durch Widerspruch Diese Methode wird oftmals angewendet um Aussagen zu widerlegen also um zu beweisen dass eine vorgegebene Aussage falsch ist Die Vorgehensweise ist folgende Man nimmt an die Aussage sei wahr folgert daraus weitere Aussagen und kommt irgendwann auf einen Widerspruch Damit kann man dann mit Sicherheit aussagen dass die Annahme falsch war Beispiel Wir wollen zeigen dass die Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist Für den Beweis durch Widerspruch nehmen wir an die Wurzel aus 2 sei rational Sie lässt sich also als Bruch p q schreiben wobei p und q teilerfremd sind d h der Bruch gekürzt ist Quadriert man nun beide Seiten so kommt man zu 2 p² q² oder anders ausgedrückt 2q² p² Also muss p² und somit auch p eine gerade Zahl sein Ist jedoch p gerade so folgt wegen der Teilerfremdheit dass q ungerade ist Teilt man nun

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